Question

微分方程求特解 y''+y'^2=1,y|x=0=y'|x=0=-1/2

Answer 1

令p=y',得p*dp/dy＋p^2=1
对应齐次方程为p*dp/dy=-p^2
dp/p=-dy
ln|p|=-y＋ln|C|
得p=Ce^(-y)
用常数变易法,得p=ue^(-y)
代入p*dp/dy＋p^2=1,解得udu/dy=e^(2y)
即u^2/2=1/2*e^(2y)＋C'/2
u=√(e^(2y)＋C1)
即p=e^(-y)√(e^2y＋C1)
又y=p=0,得C1=-1
dy/dx=√(1-e^(-2y)
所以dy/√(1-e^(-2y))=dx
-ln[(1-√(1-e^(-2y))/e^(-y)]=x-ln|C2|
代入x=y=0,得ln|C2|=0
所以(1-√(1-e^(-2y))/e^(-y)=e^(-x)
故所求微分方程特解为1-e^(-x)e^(-y)=√(1-e^(-2y))