Question

求解二阶微分方程：y”+（y'）^2=1，y|(x=0)=0,y'|(x=0)=1

求解二阶微分方程：y”+（y'）^2=1，y|(x=0)=0,y'|(x=0)=1
设y'=p(y),然后，y”=p×dp／dy，这能行吗
急急急！！！

Answer 1

不可以，而且题目初值有问题y'(0)=1,使得方程无解，以下解题过程假设y'(0)=0.

p不能与y有关，应设y'=p(x)
则有：y''=dp/dx,
则原方程变为:dp/dx+p²=1,移项，根据初值条件解知有：
1/2×ln|(1+p)/(1-p)|=x, 反解出p有：
p=[e^(2x)-1]/[e^(2x)+1],最后有：
y=∫pdx
=∫[e^(2x)-1]/[e^(2x)+1]dx
==∫[2e^(2x)-1-e^(2x)]/[e^(2x)+1]dx
=∫[2e^(2x)]/[e^(2x)+1]dx-x
=ln[e^(2x)+1]-x+√2 √2由y(0)=0确定.

Answer 2

可以的吧，然后就是p*dp/dy+p^2=1
pdp/(1-p^2)=dy
两边积分就可以解出来了
因为p=1,所以有dp/dy=0，应该有p≡1
所以就有y=x这个解吧