Question

球的体积公式的推导过程

Answer 1

不论怎么推导，都需要用到极限的思想，可能需要到高二学极限的时候能讲到。如果不用极限，则需要用到高等数学微积分知识。
1.如果已知球体表面积是S=4πR²，那么可以这样想：想像球是由无数多个非常细的圆锥构成的，球的体积就是所有圆锥的体积之和，假设细分成N个这样的锥形，当N趋近于无穷大时，如果每个圆锥底面面积为S，那么NS就是球的表面积，而锥形的高就近似是半径R，所以锥形的体积是SR/3。加起来后，整个球的体积就是NSR/3，NS是球的表面积。所以球的体积就等于球表面积乘以R/3，因为球的表面积是4πR²，所以球的体积就是 4πR³/3。
2.如果你不知道球体表面积，可以这样做：假设把球分割成很N多个半径从小到大圆形的薄片，当N趋近无限大时，每个薄片的体积加和就是个半球的体积。假设球的半径为R，先看其中一个第i层的薄片（从上半球底部向顶部数），它的底面半径可以用勾股定理求出ri=√{R²-[(i-1)·R/n]²}
(i=1,2,3...n)，这一层薄片的体积大约为Vi≈π·ri²·(R/n)=(πR³/n)·[1-(i-1)²/n²] ,
(i=1,2,3...n)
半球体积V/2=
ΣVi
=
V1+V2+V3+...+Vn
(i=1,2,3...n) ,
(i=1,2,3...n)
=(πR³/n)·{1+[1-1²/n²]+[1-2²/n²]+[1-3²/n²]+...+[1-(1-n)²/n²]}
,
(i=1,2,3...n)
=(πR³/n)·{n-[(1²+2²+3²+...+n²)/n)]²} ,
(i=1,2,3...n)
注意：(1²+2²+3²+...+n²)/n=1/6·n·(n+1)·(2n+1)
=(πR³/n)·{n-(1/n²)·[n·(n-1)(2n-1)/6]}
,
(i=1,2,3...n)
=πR³[1-(n-1)(2n-1)/6n²]
,
(i=1,2,3...n)
=πR³[1-(1-1/n)(2-1/n)/6n]
,
(i=1,2,3...n)
当n趋向于无限大时，1/n趋向于0
所以当n趋向于无限大时，半球体积
V/2=2πR³/3
球体积V=4πR³/3
如果不知道球的表面积，可以用这个结论按照方式1反过来去推导球的表面积。

Answer 2

如果你学过微积分，那么球的体积可以通过二重积分或三重积分来做。

如果没有学过，那么中学里面有一个祖亘（音，那个字打不出来，是祖冲之的儿子）原理：如果两个立体的所有的平行截面的面积均相等，则二者体积相等。

做法如下：
将半球作为一个立体，
以球的半径为底面半径，以球的半径为高的圆柱体，中间挖去一个同样的底和高的圆锥体。将这个立体作为第二个立体，。
可以证明上述两个立体的水平截面的面积均相等，
于是半球的体积为 Pi*R^2*R-1/3*Pi*R^2*R=2/3*Pi*R^3

由此可得球的体积公式4/3*Pi*R^3

Answer 3

将一个底面半径R高为R的圆柱中心挖去一个等底等高的圆椎。剩下的部分与一个半球用平面去割时处处面积相等。等出它们体积相等的结论。而那个被挖体的体积好求。就是半球体积了。V＝2/3πR^3
。因此一个整球的体积为4/3πR^3
球是圆旋转形成的。圆的面积是S=πR^2，则球是它的积分，根据积分公式可求相应的球的体积公式是V=4/3πR^3

Answer 4

用到大学高等数学中的三重积分！如果你是高中生得等到大学才懂！

Answer 5

这个是个高等积分，简单的说就是圆的面积求积分，得到体积=πR³×4／3.