Question

求问一道积分的问题

Answer 1

F(x)=∫(x²,0) dt/[(1+5t²)√(1+t²)]
F'(x)=2x*1/[(1+5x^4)√(1+x^4)]
当x＞0时，F'(x)＞0，F(x)单调递增
当x＜0时，F'(x)＜0，F(x)单调递减
所以驻点x=0，F(0)=0为极小值点
故F(x)≥0

追问

不过当x趋向无穷时，F'(x)=0是否意味着F（x）收敛

追答

两点
第一，级数收敛，其极限为0，但是反过来不成立。
第二，F(x)是个积分区域，它随着x变化有一个累加面积的过程，它跟单纯的函数不同，不会在某一点是正数，某一点就变负数了

追问

不是，我是想问，如果在x趋向无穷时，F'(x)=0，是否意味着F（x）的图像接近一条直线，那么F（x）应当有最大值

追答

你说的是渐近线，∞也是渐近线，渐近线≠最大值。
举例
y=lnx
y'=1/

y'=1/x

x→∞，y'=0

x→∞，lnx→∞

其实就是不存在渐近线和最大值

追问

那么f'(x)>0是否代表f(x)一定无限递增而不会收敛于一个数，就这个问题没搞明白

追答

是的

不然驻点就没有意义了

只要只存在一个驻点

追问

好的，明白了，谢谢