Question

1²+2²+3²+……+n²＝

Answer 1

1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6
用数学归纳法证明，n=1时，显然是成立的
假设对于n=k成立，则n=k+1时
1²+2²+...+n² = 1²+2²+...+k²+(k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)² = (k+1)(k+2)(2k+3)/6也成立
证明完毕

Answer 2

1²+2²+3²+……+n²＝n(n+1)(2n+1)/6

追问

怎么弄的

追答

(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代入上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
（归纳猜想法）：
1、N＝1时,1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2、N＝2时,1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3、设N＝x时,公式成立,即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
则当N＝x＋1时,
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2
＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也满足公式
4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.

Answer 3

=1+4+9+......+n的平方