Question

考研数学，高等数学x趋于无穷的时候不能用泰勒公式吧

Answer 1

不能使用泰勒公式，因为当x趋于无穷时，泰勒公式的皮亚诺余项o(x^n)不再是x^n的高阶无穷小，而是高阶无穷大，这使得公式不再适用。

例如，当x趋于无穷时，x+x的正弦再整体比x的极限是1。然而，当x趋于无穷时，1/x的极限是0，且sinx是有界量。利用无穷小量乘以有界量，结果仍然是无穷小量。因此，在x趋于无穷时，(sinx)/x的极限是0而不是1。只有当x趋于0时，(sinx)/x的极限才是1。

因此，使用泰勒公式时，需要x非常小，此时x的高次项就会变得非常小，可以忽略。所以，如果需要在x趋于无穷时使用泰勒公式，可以通过变换u=1/x，将x趋于无穷转化为u趋于0的问题。

综上所述，泰勒公式在x趋于无穷时并不适用，但在特定变换下可以使用。