Question

向量的数量积为什么不满足结合律？

Answer 1

从结合律的公式来看，（a·b）是个数，因此（a·b）·c的结果是一个向量，其方向和c一样，而a·（b·c）算出的向量其方向是与a相同的，方向是不同的，因此不满足结合律。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。

3、|a·b|≠|a|·|b|。

4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

Answer 2

设三个向量，a，b，c
那么（a·b）·c这个算式中，（a·b）是a、b的数量积，是个数量
所以（a·b）·c就是数量（a·b）和c相乘，是个方向和c向量相同（（a·b）是正数的时候）或相反（（a·b）是负数的时候）的向量。
而a·（b·c）这个算式中，（b·c）是b、c向量的数量积，是个数量
所以a·（b·c）就是数量（b·c）和a相乘，是个方向和a向量相同（（b·c）是正数的时候）或相反（（b·c）是负数的时候）的向量。
而一般的，a向量和c向量的方向并不相同，也不相反，不在一条直线上。
那么很明显（a·b）·c和a·（b·c）这向量的方向都不一致，当然不可能相等。
所以数量积没有结合律。