Question

请问这道题定积分怎么做？

Answer 1

令f(c)=M，其中c∈[a,b]
[∫(a,b)f^n(x)dx]^(1/n)<=[∫(a,b)M^ndx]^(1/n)=M*(b-a)^(1/n)

因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在x=c处连续
对任意ε>0，存在d>0，当x满足|x-c|<d时，有|f(x)-f(c)|<ε
ε>|f(x)-f(c)|=M-f(x)，f(x)>M-ε
所以[∫(a,b)f^n(x)dx]^(1/n)>=[∫(c-d,c+d)f^n(x)dx]^(1/n)
>[∫(c-d,c+d)(M-ε)^ndx]^(1/n)
=(M-ε)*(2d)^(1/n)
因为当n->∞时，M*(b-a)^(1/n)->M，(2d)^(1/n)->1
所以存在N>0，对所有n>N，有|(2d)^(1/n)-1|<ε
即(2d)^(1/n)>1-ε
(M-ε)*(2d)^(1/n)>(M-ε)(1-ε)=M-(M+1)ε+ε^2>M-(M+1)ε
|(M-ε)*(2d)^(1/n)-M|<(M+1)ε
所以(M-ε)*(2d)^(1/n)->M
根据极限的敛迫性，[∫(a,b)f^n(x)dx]^(1/n)->M