Question

用比较判别法及其极限形式判断级数1/(1+a^n)的敛散性

用比较判别法及其极限形式判断级数1/(1+a^n)的敛散性a大于0

Answer 1

通过比较判别法或者等价替换的方法，即可判定级数的敛散性。具体解答如下：

级数收敛的性质：

① 非零常数因子不影响级数的敛散性；

② 收敛级数的和与差仍然是收敛的；

③ 级数的敛散性与它的前有限项无关；

④ 收敛级数的项任意加括号后构成的新级数仍然收敛，且其和不变。

注：在性质①中，如果常数因子等于零，不影响收敛级数，但会将发散级数变为收敛级数；性质②只适用于收敛级数，一个收敛级数与一个发散级数的和一定发散，两个发散级数的和有可能收敛有可能发散；性质④是收敛级数的必要非充分条件。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

1/(1+a^n)<1/a^n
1.(a>1),1/a^n收敛，原级数收敛
2.(a=1),原级数变为∑(n=1,∝)1/2即1/2n发散
3.(a<1)，lim1/(1+a^n)≠0发散

Answer 4

1/(1+a^n)<1/a^n

(a>1),1/a^n收敛，原级数收敛

(a=1),原级数变为∑(n=1,∝)1/2即1/2n发散

(a<1)，lim1/(1+a^n)≠0发散

a^(1/n)－1＝e^(lna/n)－1等价于lna/n，而级数lna/n发散，因此原级数发散。

由于1/(n+1)(n+4) =1/(n²+5n+4)≤1/(n²),而p级数∑1/(n²)收敛，由比较判别法知：∑1/(n+1)(n+4) 也收敛。

扩展资料：

收敛级数分条件收敛级数和绝对收敛级数两大类，其性质与有限和（有限项相加）相比有本质的差别，例如交换律和结合律对它不一定成立。

收敛级数的基本性质主要有：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变；两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数；

在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性；原级数收敛，对此级数的项任意加括号后所得的级数依然收敛；级数收敛的必要条件为级数通项的极限为0。

参考资料来源：百度百科-收敛级数