Question

存在极限的数列一定是单调的吗？

Answer 1

• 不一定
  

• 单调有界定理

  单调有界定理：若数列{an}递增（递减）有上界（下界），则数列{an}收敛，即单调有界数列必有极限。具体来说，如果一个数列单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则该数列收敛。

• 相关概念

  单调性

  对任一数列{xn}，如果从某一项xk开始，满足

  则称数列（从第k项开始）是单调递增的。特别地，如果上式全部取小于号，则称数列是严格单调递增的。

  同样地，如果从某一项k开始，满足

  则称数列（从第k项开始）是单调递减的。特别地，如果上式全部取大于号，则称数列是严格单调递减的。

  单调递增数列和单调递减数列统称单调数列。

  有界性

  对任一数列{xn}，如果存在某个实数A使不等式

根据数列有界的定义可知，如果一个数列有界，那么它一定有上界和下界。反过来，如果一个数列只有上界或只有下界，则不能得出数列有界的结论。

参考资料

百度百科：https://baike.baidu.com/item/单调有界定理/3200959?fr=aladdin