Question

过曲线y=x²上一点M(1，1)作切线L,D是由曲线y=x²，切线L及x轴所围成的平面图形

过曲线y=x²上一点M(1，1)作切线L,D是由曲线y=x²，切线L及x轴所围成的平面图形 1.求平面图形D的面积
2.求平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积

Answer 1

y'=2x,

切线L:y=2x-1,交x轴于点(1/2,0),

1. 平面图形D的面积=∫<0,1>[(y+1)/2-√y]dy

   =[y^2/4+y/2-(2/3)y^(3/2)]|<0,1>

   =1/4+1/2-2/3=1/12.

2. 平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积

   =∫<0,1/2>πx^4dx+∫<1/2,1>π[x^4-(2x-1)^2]dx

   =(π/5)x^5|<0,1/2>+π[x^5/5-(4x^3/3-2x^2+x)]|<1/2,1>

   =π/160+π[31/160-(7/6-3/2+1/2)]

   =π/30.

Answer 2

从[0，1/2][1/2，1]两段区间分别积分