Question

关于广义积分的问题！急！！！！！

广义积分∫x^3e^(-x)dx
积分上限为：正无穷
积分下限为：0
求高手给出具体步骤，怎么解出的答案。
急！！！！！！

Answer 1

用分步积分法，先把e^(-x)放到微分符号后面，然后使用分部积分公式：
原式=-∫x^3de^(-x)=∫e^(-x)d(x^3)-(x^3)e^(-x) （一定要写上下限）
注意上式中的后面一项在正无穷大和零时均等于0，所以：
原式=∫e^(-x)d(x^3)=3∫(x^2)e^(-x)dx
反复使用分部积分法，最终得到：
原式=(-3)∫(x^2)de^(-x)=3[∫e^(-x)d(x^2)-(x^2)e^(-x)]
=6∫xe^(-x)dx=(-6)∫xde^(-x)=6[∫e^(-x)dx-xe^(-x)]
=6∫e^(-x)dx=6

全敲出来好累啊!!!!!!!!!!