Question

已知函数f（x）=ax^2+(b-8)x-a-ab,当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f(x)＜0当x∈（-3,2）时，f（x）＞0

（1）求f(x)在[0,1]内的值域；
（2）若ax^2+bx+c≤0的解集为R，求实数c的取值范围

Answer 1

解：由题意得x=-3和x=2是函数f（x）的零点且a≠0，则

0＝a×(-3)2+(b-8)×(-3)-a-ab

0＝a×22+(b-8)×2-a?ab    

解得

a＝-3

b＝5    

∴f（x）=-3x2-3x+18．
（1）由图象知，函数在[0，1]内单调递减，
∴当x=0时，y=18；
当x=1时，y=12，
∴f（x）在[0，1]内的值域为[12，18]．
（2）令g（x）=-3x2+5x+C、
∵g（x）在[

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，+∞）上单调递减，要使g（x）≤0在[1，4]上恒成立，则需要g（1）≤0．
即-3+5+c≤0，解得c≤-2，
∴当c≤-2时，不等式ax2+bx+c≤0在[1，4]上恒成立