Question

已知实数a>0，b>0，且a^2+b^2=8，若a+b≤m恒成立

已知实数a>0，b>0，且a^2+b^2=8，若a+b≤m恒成立
①求实数m的最小值
②若2|x+1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围

Answer 1

（1）

由柯西不等式可得

16=（a²+b²）（1²+1²）≥（a+b）²

（其中c=d=1）

a+b≤4，当且仅当a=b=2时，等号成立，

a+b≤m，所以m≥4，m最小值为4

（2）要使2|x+1|+|x|≥a+b恒成立，须且只须2|x+1|+|x|≥4．

1）当x＞0时，

2（x+1）+x≥4

3x+2≥4

x≥3/2

2）当x<-1时

-2（x+1）-x≥4

-3x-2≥4

-3x≥6

x≤-2

3）当-1≤x≤0时

2（x+1）-x≥4

x+3≥4

x≥1（舍去）

所以x≥3/2或x≤-2

Answer 2

a+b≤m恒成立，说明a+b的最大值小于等于m。
a+b的平方=a2+b2+2ab，又
a^2+b^2=8大于等于2ab
所以a+b的平方小于等于a2+b2+a^2+b^2=16
a+b的最大值为4