Question

实对称矩阵什么时候要进行施密特正交化？什么时候需要单位化？什么时候既不用施密特正交化也不用单位化？

还有一点，是不是一般矩阵永远不用施密特正交化和单位化呢？

Answer 1

不是实对称矩阵需要斯密特正交化，是转化为对角阵的转化矩阵需要斯密特正交化。斯密特正交化不是必须的，不过斯密特正交化后的矩阵具有独特的特点。

实对称矩阵不同特征值对应的特征向量一定正交。所以如果把多重特征值对应的特征向量正交化后，所有的特征向量两两正交。如果再单位化。那么这些不同向量的内积为0，而自己与自己的内积为1。

扩展资料：

正交化是指将线性无关向量系转化为正交系的过程。

设{xn}是内积空间H中有限个或可列个线性无关的向量，则必定有H中的规范正交系{en}使得对每个正整数n（当{xn}只含有m个向量，要求n≤m），xn是e1,e2,…,en的线性组合。

这种把线性无关向量系进行正交化的过程，称为格拉姆-施密特正交化过程。

参考资料来源：百度百科-格拉姆-施密特正交化过程

Answer 2

不是实对称矩阵需要斯密特正交化，是转化为对角阵的转化矩阵需要斯密特正交化。斯密特正交化不是必须的，不过斯密特正交化后的矩阵具有独特的特点。
实对称矩阵不同特征值对应的特征向量一定正交。
所以我们如果把多重特征值对应的特征向量正交化后，所有的特征向量两两正交。如果再单位化。那么这些不同向量的内积为0，而自己与自己的内积为1。
也就是说，这些特征向量构成的转化矩阵的逆就等于它的转置。这样的转化矩阵非常特殊很有用。
而非实对称矩阵，保证不了不同特征值对应的特征向量之间的正交，所以即使多重特征值对应的多个特征向量做了正交化，也达不到想要的目的。

Answer 3

数学上没规定啥时候需要单位化、正交化，是否需要时要看你具体解决的问题的。一般来说，单位化是不必须的，但是往往可以使结果唯一，而且有时候计算性质比较好；正交化对于分解空间比较有效，如果不懂得话，就当作总是需要单位化和正交化好了

Answer 4

对称矩阵什么时候要进行施密特正交化？什么时候需要单位化？什么时候既不用施密特正交化也不用单位化？
还有一点，是不是一般矩阵永远不用施密特