Question

渗流连续性方程

Answer 1

所谓渗流连续性方程就是水均衡方程，有的更广泛地称其为质量守恒方程。为了反映含水层中地下水运动的普遍规律，我们选定在各向异性多孔介质中建立地下水三维不稳定流动连续性方程。假定水是可压缩的，多孔介质骨架在垂直方向可压缩，但水平方向不可变形。为了方便起见，取直角坐标系的x、y、z轴分别平行于各向异性岩层渗透系数主方向。

我们在各向异性含水介质中取一微小立方体（图2-1-1），使它的三组平行面分别垂直于x、y和z轴。它的棱长分别为Δx、Δy和Δz，各侧面面积分别为ΔyΔz、ΔzΔx和ΔxΔy。设与x、y和z轴主方向对应的主渗透系数分别为K_xx、K_yy和K_zz。

我们以上述微小立方体的多孔介质为均衡体，以Δt为均衡时段，建立其质量守恒方程。

图2-1-1 多孔介质单元水均衡要素图

在Δt时段内，沿x方向通过左侧x断面流入的质量为（ρv_x）｜（_{x，y，z，t）}ΔyΔzΔt，在同一Δt时段内，沿x方向通过右侧x＋Δx断面流出的质量为（ρv_x）｜（_{x＋Δx，y，z，t）}ΔyΔzΔt，在x方向上，左右侧面净流入微小均衡体的质量为［（ρv_x）｜（_{x，y，z，t）}-（ρv_x）｜（_{x＋Δx，y，z，t）}］ΔyΔzΔt。

同理，在Δt时段内，沿y和z方向净流入均衡体的质量分别为［（ρv_y）｜（_{x，y，z，t）}-（ρv_y）｜（_{x，y＋Δy，z，t）}］ΔzΔxΔt和［（ρv_z）｜（_{x，y，z，t）}-（ρv_z）｜（_{x，y，z＋Δz，t）}］ΔxΔyΔt。

因此，Δt时段内，上述3个方向净流入均衡体的质量为

地下水动力学（第五版）

当地下水为不稳定流动时，Δm≠0，这个增量Δm将表现为均衡体内地下水质量的变化，即

地下水动力学（第五版）

当多孔介质垂向可变形而水平方向不变形时，则

地下水动力学（第五版）

依质量守恒原理，（*）式与（**）式相等，方程两端除以Δt，并取Δx→0、Δy→0、Δz→0和Δt→0，则得

地下水动力学（第五版）

该式是考虑了水与饱和多孔介质垂向可压缩变形的，其均衡时段Δt＝1，即表示单位时间微小立方体的地下水运动连续性方程。

包含v_x、v_y、v_z和ρ、n、Δz等变量的地下水运动连续性方程只是建立地下水运动（渗流）基本微分方程的基础之一。为建立以水头为因变量的地下水运动的基本微分方程，要引入渗流基本定律（Darcy流或非Darcy流），将v_x、v_y、v_z转化为以水头H为变量的关系式。至于要解决ρ、n、Δz三者与水头H或压强p的关系，便涉及水和多孔介质的压缩性（变形）问题，这将在下节中讨论。