Question

求解微积分二重积分

Answer 1

被积函数中有 x² ，√x²+y²之类的，积分区域为圆，椭圆，球，用极坐标简单

Answer 2

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
希望我能帮助你解疑释惑。

Answer 3

如图所示

Answer 4

由于积分区域关于x轴对称，而函数xy关于y是奇函数，所以∫∫(D)xydxdy＝0.于是
∫∫(D)[xy+√(1-x^2-y^2)] dxdy
＝∫∫(D)√(1-x^2-y^2)dxdy. ①
注意到①式右端被积函数是z＝√(1-x^2-y^2)，即单位球体位于xoy平面上方的半球体，该半球体的底面刚好是积分区域，根据二重积分的几何意义知，①式右端就等于上述半球体的体积。所以原积分＝0+1/2 × 4/3 × π × 1^2＝2π/3.
注：如果没有注意到①式右端的特殊几何意义，可以利用极坐标去计算：
原式＝∫(0,2π)dθ∫(0,1)√(1-r^2)rdr
＝2π × (-1/2) ∫(0,1)√(1-r^2)d(1-r^2)
＝2π × (-1/3)√(1-r^2)^3|(0,1)
＝2π/3.