Question

数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N∗)(Ⅰ)求数列{an}的通项an

由题意得（n+1）=Sn-S（n-1），所以a（n+1）-an=2an，所以得a（n+1）与an的比值为3，所以由此得an的通项对吗？如不对，请说明理由。【n与（n+1）均为项数】正确答案是Ⅰ)∵a1=1,an+1=2Sn，

∴a2=2S1=2a1=2，

an+1=2Sn,an=2Sn−1，n⩾2，

∴an+1=3an，n⩾2，

∴{an}是从第二面开始起的等比数列，

且公比q=an+1an=3，

∴an={1,n=1 2⋅3n−2,n⩾2.

Answer 1

等比数列
判定数列{an}是等差数列的方法：
1、用定义,证an-a(n-1)=d（d是常数）
2、证an=pn+q（即证an是关于n的一次函数式）
3、证Sn=pn ²+qn+c（即证Sn是关于n的二次函数式）
4、证a(n+1)+a(n-1)=2an
判定数列{an}是等比数列的方法：
1、用定义,证an/a(n-1)=q（q是常数）
2、证a(n+1)*a(n-1)=an ²

追问

我想知道上面那种方法为什么不对

我想知道上面那种方法为什么不对

Answer 2

由已知，可得到数列{an}是等比数列，利用通项公式即可求出

追问

那个上面有正确答案，和这个算的不一样

Answer 3

因为an+1=2Sn
所以a(n-1)+1=2S（n-1）
两式想减
an-a（n-1）=2an
an=-a（n-1）
所以an是公比为-1的等比数列

Answer 4

约定:[ ]内是下标
S[1]=a[1]=1
a[n+1]=2S[n],S[n+1]-S[n]=2S[n]
S[n+1]=3S[n]
{S[n]}是首项为1,公比为3的等比数列
S[n]=3^(n-1)
当n≥2时
a[n]=S[n]-S[n-1]=3^(n-1)-3^(n-2)=2·3^(n-2)
所以 数列的通项公式是
a[n]={1,n=1
------{2·3^(n-2),n≥2

追问

我想知道上面那种方法为什么不对

我想知道上面那种方法为什么不对

追答

a[n+1]=2S[n]
a[n]=2S[n−1]，n≥2
∴a[n+1]=3a[n]，n≥2
上面这个式子只有在n≥2成立，a[2]=2
即{a[n]}从第2项起是以2为首项，公比为3的等比数列

Answer 5

∵an+1=2Sn+1，n∈N∗，n≥2时，an=2Sn-1+1，可得an+1-an=2an，即an+1=3an．
n=1时，a2=2a1+1=3=3a1，满足上式．
∴数列{an}是等比数列，∴an=3n-1．