Question

三个问题

Answer 1

和圆形隧道相比，实际小净距隧道断面形状是复杂的，利用Schwarz交替法研究复杂断面小净距隧道围岩应力和位移的解析解，涉及的映射函数和坐标平移更为一般，单洞解析函数形式更为复杂。为使研究思路更为清晰，需进一步对任意断面小净距隧道相关问题进行梳理。

（1）映射函数

要获得复杂断面小净距隧道围岩应力和位移的解析解，需获得求解应力和位移的两个解析函数即φ_*（ζ）和ψ_*（ζ），在公式推演之前首先要明确映射函数。3.2节中讨论的圆形小净距隧道，其映射函数仅有一项，问题相对简单。工程中实际出现的小净距隧道，两个洞的几何形状和尺寸更为复杂（图3.6）。

图3.6 单位圆隧道与实际隧道之间的映射

图3.6给出了z平面上为实际隧道断面几何形状和两隧道的相对位置，及ζ平面上与此相对应的两个单位圆隧道。z平面上两个隧道断面几何形状和尺寸均相同，将ζ平面上单位圆映射成实际隧道的映射函数系数是相同的，只是坐标系不同而已。将0′单位圆外无限域映射到0隧道洞室外无限域，及将1′单位圆外无限域映射到1隧道洞室外无限域的映射函数，在两个坐标系下分别为：

小净距隧道围岩稳定性解析与模拟研究

小净距隧道围岩稳定性解析与模拟研究

C_n＝A_n+iB_n （3-72）

式（3-72）中的C_n为复常数，而A_n和B_n均为实常数。对于复杂断面隧道，为满足映射精度，映射函数中的项数一般取十几项至数十项不等，视具体断面形状而定。其中，映射函数的系数均可按3.3节方法获得。

（2）坐标系变换

由图3-6知对z平面上两个隧道建立了两个坐标系oxy和o₁x₁y₁，两个坐标系之间的平移关系为：

小净距隧道围岩稳定性解析与模拟研究

式中C为矢量，由z平面上两个隧道实际相对位置给出。由于Schwarz交替法的交替迭代过程均在ζ平面上进行，因此需求出与C相对应的ζ平面上的c，c也为矢量。ζ平面上与z平面上相对应的两个坐标系ouv和o₁u₁v₁，两个坐标系之间的平移关系为：

ζ＝ζ₁+c （3-74）

已知C和ω（ζ），c可由下式求出：

小净距隧道围岩稳定性解析与模拟研究

（3）解析函数问题

由3.1节研究知，Schwarz交替法本质是把求解双连通域问题化为一系列求解单连通域，是一种逐次交替迭代逼近的过程。这就有个前提，要获得双连通域中的解析函数φ_*（ζ）和ψ_*（ζ），需知道单连通域中的解析函数一般式。2.4节就单连通域中的解析函数φ（ζ）和ψ（ζ）给出了一般式，而ψ（ζ）根据映射函数的项数有两种表示式。当n≤2时映射函数的第二项为复常数，3.2节讨论的就是这种情况。对复杂断面隧道，映射函数项n一般取几十项甚至数十项，因此据2.4节单洞隧道中的解析函数表达式为：

小净距隧道围岩稳定性解析与模拟研究

ψ（ζ）＝B′C₁ζ （3-77）

Answer 2

回答三个问题？