Question

线代 矩阵A=λ10 0λ1 00λ 求A^n

要详细过程 顺便解答A=λE+j 为什么E和j可交换 书中只有AE=EA=A这个呀

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

A = λE + J， 其中 J =
[0 1 0]
[0 0 1]
[0 0 0]
则 J^2 =
[0 0 1]
[0 0 0]
[0 0 0]
J^k = O (k ≥ 3)
EJ = JE = J (任意方阵与同阶单位矩阵相乘均可交换)
A^n = (λE + J)^n
= λ^nE + C<n,1>λ^(n-1)J + C<n,2>λ^(n-2)J^2 + C<n,3>λ^(n-3)J^3 + ...
= λ^nE + nλ^(n-1)J + [n(n+1)/2]λ^(n-2)J^2 + O =
[λ^n nλ^(n-1) n(n+1)λ^(n-2)/2]
[ 0 λ^n nλ^(n-1)]
[ 0 0 λ^n]

追问

求问EJ为什么可交换 主要这里不懂

追答

任意方阵与同阶单位矩阵相乘均可交换。能否交换你算一下不就知道了吗！

Answer 3

A = λE + J， 其中 J =
[0 1 0]
[0 0 1]
[0 0 0]
则 J^2 =
[0 0 1]
[0 0 0]
[0 0 0]
J^k = O (k ≥ 3)
EJ = JE = J (任意方阵与同阶单位矩阵相乘均可交换)
A^n = (λE + J)^n
= λ^nE + C<n,1>λ^(n-1)J + C<n,2>λ^(n-2)J^2 + C<n,3>λ^(n-3)J^3 + ...
= λ^nE + nλ^(n-1)J + [n(n+1)/2]λ^(n-2)J^2 + O =
[λ^n nλ^(n-1) n(n+1)λ^(n-2)/2]
[ 0 λ^n nλ^(n-1)]
[ 0 0 λ^n]