Question

x＊[(sinx)^2]的不定积分

Answer 1

具体回答如下：

∫xsinx^2dx

=∫x(1-cos2x)/2dx

=1/2∫xdx-1/2∫xcos2xdx

=1/2∫xdx-1/4∫x d(sin2x)

=1.4x^2-1/4xsin2x-1/8cos2x+c

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

具体回答如下：

∫xsinx^2dx

=∫x(1-cos2x)/2dx

=1/2∫xdx-1/2∫xcos2xdx

=1/2∫xdx-1/4∫x d(sin2x)

=1.4x^2-1/4xsin2x-1/8cos2x+c

不定积分的公式：

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 3

具体回答如下：

∫xsinx^2dx

=∫x(1-cos2x)/2dx

=1/2∫xdx-1/2∫xcos2xdx

=1/2∫xdx-1/4∫x d(sin2x)

=1.4x^2-1/4xsin2x-1/8cos2x+c

勒贝格积分

勒贝格积分的出现源于概率论等理论中对更为不规则的函数的处理需要。黎曼积分无法处理这些函数的积分问题。因此，需要更为广义上的积分概念，使得更多的函数能够定义积分。同时，对于黎曼可积的函数，新积分的定义不应当与之冲突。

勒贝格积分就是这样的一种积分。 黎曼积分对初等函数和分段连续的函数定义了积分的概念，勒贝格积分则将积分的定义推广到测度空间里。

Answer 4

1.三角函数倍角展开;
2.裂项和用分部积分;
3.详细步骤如下图:

Answer 5

如下