Question

如何证明一个线性无关的向量组的任何一个部分组也线性无关

Answer 1

1、定义法

令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。

2、向量组的相关性质

（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关；

（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；

（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；

（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。

（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的

Answer 2

设a1,a2,...,as
是某向量组中的一个线性无关部分组
扩充步骤如下:
任取向量组中一个向量β
考虑向量β是否可由a1,a2,...,as线性表示
(1)若β可由a1,a2,...,as线性表示
则放弃此向量
(2)若β不能由a1,a2,...,as线性表示
则添加此向量得线性无关的部分组a1,a2,...,as,a(s+1):=β
这个部分组为什么线性无关:
设
k1a1k2a2+...+ksas+kβ
=
0
由于
β不能由a1,a2,...,as线性表示,
所以有
k
=0
所以
k1a1k2a2+...+ksas
=
0.
再由
a1,a2,...,as
线性无关,
k1=k2=...=ks=0
故
a1,a2,...,as,β
线性无关.
如此进行下去,
遍历整个原向量组,
得一扩充的部分组:
a1,a2,...,ar
满足:
1)
线性无关
2)
原向量组中任一向量都可由此部分组线性表示
故a1,a2,...,ar即为一个极大无关组.