如图，已知矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连接AF、CF，BD与AC相交于O点。证明：AF⊥CF
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证明：延长CF与边AD的延长线交于点G
因为
在直角三角形DCE中，F为斜边DE的中点
所以
CF=1/2DE=DF=FE(直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）
又角CFE=角DFG(对顶角相等)
角GDF=角FEC（直线DG平行于直线CE)
所以
三角形CFE全等于三角形GFD
所以
DG=CE
所以
由AG=BE=BD=AC得三角形ACG为等腰三角形
AC=AG
因为在直角三角形DGC中，CG为斜边，DF=CF
所以F为CG中点
所以AF为CG边上中线
AF垂直于CG
得证
因为
在直角三角形DCE中，F为斜边DE的中点
所以
CF=1/2DE=DF=FE(直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）
又角CFE=角DFG(对顶角相等)
角GDF=角FEC（直线DG平行于直线CE)
所以
三角形CFE全等于三角形GFD
所以
DG=CE
所以
由AG=BE=BD=AC得三角形ACG为等腰三角形
AC=AG
因为在直角三角形DGC中，CG为斜边，DF=CF
所以F为CG中点
所以AF为CG边上中线
AF垂直于CG
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