Question

二阶导数与函数的凹凸性问题

Answer 1

函数凹凸性与二次导数有关
如果函数某点的一阶导数等于零
该点的二阶导数若大于0,则函数在该点是极小值,函数在该点附近是下凹的
若该点的二阶导数若小于0,则函数在该点是极大值,函数在该点附近是上凸的
若等于0,则该点为拐点
若函数的二阶导数恒大于0,函数是下凹的
若函数的二阶导数恒小于0,则函数上凸的
从函数的几何意义来分析：
因为随着凹凸变化，曲线的切线斜率会出现相应的改变。
1在凹最低处或凸最高处，切线斜率为0，即一阶导数为0
2在凹图象最低处左右，一阶导数从最低处左方的>0趋于右方的<0,这一过程二阶导数>0
在凸图象最高处左右，一阶导数从最高处左方的<0趋于右方的>0,这一过程二阶导数<0
因此根据二阶导数可以判断函数的凹凸性质

Answer 2

记得高数书上有的。
这里仅我个人理解的，要是不对就一笑而过吧。
因为，已经说了，f(x)有凹凸性，所以，f(x)或者为先减后增，或者为先增后减。
当二阶导数大于0，说明一阶导数单调递增。根据f(x)不是先减后增就是先增后减，所以，在此情况下，f(x)只能为先减后增了。所以，在二阶导数大于0时，函数为凹函数。
同理可证二阶导数小于0时，函数为凸函数。
仅为个人理解哦！不负责任的哦！

Answer 3

二阶大于零，说明一阶导数单调增，一阶函数单调，说明函数斜率递增，而凹函数就是这样，同理乐得凸函数，有疑问乐意探讨。