Question

已知中心在原点O,焦点在x轴上，离心率为根号3/2的椭圆过点（根号2，根号2/2）。

Answer 1

令P(x1,y1),Q(x2,y2).直线PQ方程为:y=kx+m(其中k=(y2-y1)/(x2-x1))
①代入x^2/4+y^2=1②并整理得:
(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0.
③
依题意有Δ=16(1+4k^2-m^2)>0.
x1+x2=-(8km)/
(1+4k^2).
|
x2-x1|=√Δ]/(1+4k^2),
|
y2-y1|=|k(
x2-x1)|=
|k|√Δ]/(1+4k^2),
x1x2=4(m^2-1)
/(1+4k^2),
y1y2=
(kx1+m)(
kx2+m)=k^2x1x2+km(x1+x2)+m^2
=4
k^2(m^2-1)
/(1+4k^2)
-
(8k^2m^2)/
(1+4k^2)
+
m^2
OP,PQ,OQ斜率成等比数列,则有(y2-y1)^2/(x2-x1)^2=y1y2/x1x2.
④
即k^2=[4
k^2(m^2-1)
/(1+4k^2)-(8k^2m^2)/
(1+4k^2)+m^2]/
[4(m^2-1)
/(1+4k^2)]
整理得:k^2=1/4.
|PQ|=[√(1+k^2)√Δ]/(1+4k^2)=
[4√(1+k^2)√(1+4k^2-m^2)]/(1+4k^2)
⑤
O到直线PQ的距离d=|m|/(√(1+k^2)
⑥
△OPQ面积=|PQ|*d/2=[4√(1+k^2)√(1+4k^2-m^2)]/(1+4k^2)
*|m|/(√(1+k^2)/2
=2|m|√(1+4k^2-m^2)/(1+4k^2)
=2|m|√(1+1-m^2)/(1+1)
=|m|√(2-m^2)
⑦
显然△OPQ面积在|m|=1时取得最大值1,最小值为0,故取值范围(0,1].