Question

已知实数x,y满足方程x＾2＋y＾2－4x+1＝0（1）求y-x的最大值和最小值（2）求x＾2＋y＾2的最大值和最小值

Answer 1

1.
设y-x=b,即y=x+b
代入x^2＋y^2-4x+1＝0中
则x^2+(x+b)^2-4x+1=0
2x^2+(2b-4)x+b^2+1=0.
因为x有实数解
所以△
=(2b-4)^2-4*2*(b^2+1)≥0
即b^2+4b-2≤0
解得-2-√6≤b≤-2+√6
即y-x的最大值和最小值分别为:-2+√6,和-2-√6
2.
x^2＋y^2-4x+1＝0即(x-2)^2+x^2=3
表示以（2，0）为圆心，以√3为半径的圆
所以x^2＋y^2-4x+1＝0上到原点的最远点为（2+√3，0），最近点为（2-√3，0）
而x^2＋y^2表示圆上的点到原点距离的平方
所以x^2＋y^2的最大值为（2+√3）^2=7+4√3,最小值为（2-√3）^2=7-4√3

Answer 2

x^2＋y^2-4x+1＝0即(x-2)^2+x^2=3
表示以（2，0）为圆心，以√3为半径的圆
所以x^2＋y^2-4x+1＝0上到原点的最远点为（2+√3，0），最近点为（2-√3，0）
而x^2＋y^2表示圆上的点到原点距离的平方
所以x^2＋y^2的最大值为（2+√3）^2=7+4√3,最小值为（2-√3）^2=7-4√3请采纳谢谢！

Answer 3

(x-2)^2+y^2=3
即是圆心在(2,0)半径为根号3的圆上的点
(1)
y=x+a与圆切于(2-根号1.5,根号1.5)和(2+根号1.5,-根号1.5)两点
则y-x最小值为-根号6-2，最大值为根号6-2
(2)距原点最近的点是(2-根号3,0)，最远的点是(2+根号3,0)
所以x＾2＋y＾2最大值为7+4×根号3，最小值为7-4×根号3

Answer 4

设,y-x=m,
即,求直线Y=X+m与(X-2)^2+Y^2=3,相切时,直线Y=X+m,在Y轴上的截距的值.
则有:X^2+(X+m)^2-4x+1=0,
2x^2+(2m-4)x+m^2+1=0.
⊿=0,
(2m-4)^2-4*2*(m^2+1)=0,
(m+2)^2=6,
m1=√6-2,m=-√6-2.
则,y-x的最大值和最小值分别为:√6-2,和-√6-2.
2.x＾2＋y＾2=4X-1,
即当Y=0时,
X^2-4X+1=0,
(X-2)^2=3,
X1=√3+2,X2=-√3+2.
则,x＾2＋y＾2的最大值和最小值分别为:7+4√3和7-4√3.