Question

万有引力的推导公式和过程

Answer 1

万有引力是由于物体具有质量而在物体之间产生的一种相互作用。它的大小和物体的质量以及两个物体之间的距离有关。物体的质量越大，它们之间的万有引力就越大；物体之间的距离越远，它们之间的万有引力就越小。
　　两个可看作质点的物体之间的万有引力，可以用以下公式计算：f＝gmm/r^2,即
万有引力等于引力常量乘以两物体质量的乘积除以它们距离的平方。其中g代表引力常量，其值约为6.67×10的负11次方单位
n·m2
/kg2。为英国科学家
卡文迪许通过扭秤实验测得。
　　万有引力的推导：若将行星的轨道近似的看成圆形，从开普勒第二定律可得行星运动的角速度是一定的，即：
　　ω=2π/t(周期)
　　如果行星的质量是m，离太阳的距离是r，周期是t，那么由运动方程式可得，行星受到的力的作用大小为
　　mrω^2=mr（4π^2）/t^2
　　另外，由开普勒第三定律可得
　　r^3/t^2=常数k'
　　那么沿太阳方向的力为
　　mr（4π^2）/t^2=mk'（4π^2）/r^2
　　由作用力和反作用力的关系可知，太阳也受到以上相同大小的力。从太阳的角度看，
　　（太阳的质量m）（k''）（4π^2）/r^2
　　是太阳受到沿行星方向的力。因为是相同大小的力，由这两个式子比较可知，k'包含了太阳的质量m，k''包含了行星的质量m。由此可知，这两个力与两个天体质量的乘积成正比，它称为万有引力。
　　如果引入一个新的常数（称万有引力常数），再考虑太阳和行星的质量，以及先前得出的4·π2，那么可以表示为
　　万有引力=(gmm)(r^2)
两个通常物体之间的万有引力极其微小，我们察觉不到它，可以不予考虑。比如，两个质量都是60千克的人，相距0.5米，他们之间的万有引力还不足百万分之一牛顿，而一只蚂蚁拖动细草梗的力竟是这个引力的1000倍！但是，天体系统中，由于天体的质量很大，万有引力就起着决定性的作用。在天体中质量还算很小的地球，对其他的物体的万有引力已经具有巨大的影响，它把人类、大气和所有地面物体束缚在地球上，它使月球和人造地球卫星绕地球旋转而不离去。

Answer 2

万有引力定律是牛顿在借用开普勒第三行星运动定律和自己的分析思考下得出的。开普勒第三行星运动定律：所有行星运动轨迹的半长轴的三次方与其运动周期的平方的比值为定值。为简化推导，设行星运动轨迹为圆,其轨道半径为r，周期为T。相应的有：r^3/T^2=K(定值)。设太阳质量为M，行星的质量为m，行星的加速度为a。则由“牛二”定律，行星作匀速圆周运动所受到的向心力F=ma=m(w^2)r=m[（4π^2）/T^2]r=(4π^2)K×(m/r^2).可见F正比于m，于是牛顿想到既然力的作用是相互的，就应该有F也正比于M。由此F=(4π^2)K×(m/r^2)=GM×(m/r^2)，比例系数G即为我们所熟知的万有引力常量。而K的大小与中心天体的质量有关。
希望能对你有所帮助