Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,(an-sn-1)^2=sn*sn-1,（n>=2),且a1=1，an>0

Answer 1

证：
an+2snsn-1=0
sn-sn-1+2snsn-1=0
等式两边同除以snsn-1
1/sn-1-1/sn+2=0
1/sn-1/sn-1=2，为定值。
1/s1=1/a1=2
数列{1/sn}是以2为首项，2为公差的等差数列。
1/sn=2+2(n-1)=2n
sn=1/(2n)
1/sn-1=2+2(n-2)=2(n-1)
sn-1=1/[2(n-1)]
an=sn-sn-1=1/(2n)-1/[2(n-1)]=1/[2n(1-n)]
bn=2(1-n)an=1/n
b2²+b3²+...+bn²
=1/2²+1/3²+...+1/n²
<1/(1×2)+1/(2×3)+...+1/[(n-1)n]
注：这步用到了放缩法。
=1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n
=1-1/n
<1
不等式成立。