Question

如何证明：两内角平分线相等的三角形是等腰三角形？

Answer 1

证明:
设这个三角形为ABC,AD为BC中线它们交于D,
过D作DE垂直AB于E,作DF垂直AC于F,则有DE=DF
在Rt△BDE和Rt△CDF中,有BD=CD(D为BC中点,DE=DF,则有Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
有角B=角C,由三角形的等角对等边,有AB=AC,即这个三角形为等腰三角形
,证毕.

Answer 2

设这个△ABC，CD、BE分别是∠C和∠B的角平分线
过点E作∠BEF=∠BCD，使EF=BC
∵BC=EF,∠BEF=∠BCD,BE=CD
∴△BCD≌△FEB(SAS)
∴∠FBE=∠BDC,BF=DB
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC==∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β)
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β)
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2β<180°,∴α+β<90°
∴∠FBC=∠CEF>90°
∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.
设垂足分别为G、H;
∠HEF=∠CBG;
∵BC=EF,
∴Rt△CGB≌Rt△FHE
∴CG=FH,BC=HE
连接CF
∵CF=FC,FH=CG
∴Rt△CGF≌△FHC
∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD
∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
需要你自己画个图，把辅助线画出来，基本上你可以看得懂，另外多说一下，这道题并不是简单的中学数学问题，极少有学生可以想到这种辅助线作法及证题思路，这个定理叫斯坦纳-雷米欧斯定理，总共有十三种证法，呵呵，慢慢研究去吧！

Answer 3

过F做角BFG=角BCE,令FG=BC,过G做GH垂直AC交AC于H,连GB并延长，过C做CI垂直于GB交GB延长线于I，连GC,设BF,CE交于O.
∵
∠BFG=∠BCE,GF=BC,BF=CE,∴⊿BFG≌⊿ECB,∴∠BEC=∠GBF
∵∠ABF=∠FBC∴∠FBC+∠GBF=∠ABF+∠BEC
∵∠FBC+∠GBF=∠GBC,∠ABF+∠BEC=∠BOC
∴∠GBC=∠BOC
∵∠BFG=∠BCE,∠BCE=∠ECA
∴∠BFG=∠ECA
∴∠BFG+∠BFC=∠ECA+∠BFC
∵∠BFG+∠BFC=∠GFC,∠ECA+∠BFC=∠BOC
∴∠GFC=∠BOC
∴∠GBC=∠GFC
∴∠CBI=∠GFH
∵∠GHC=∠I=90,GF=BC
∴
⊿GFH≌⊿CBI
∴∠HGF=∠BCI,GH=CI
∵∠GHC=∠I=90,GC=GC
∴⊿GHC≌⊿CIG
∴∠HGC=∠ICG
∴∠HGC-∠HGF=∠GCI-∠BCI
∵∠HGC-∠HGF=∠FGC,∠GCI-∠BCI=∠GCB
∴∠FGC=∠GCB
∴GF∥BC
∴∠BFG=∠FBC
∵∠BFG=∠BCE
∴∠BCE=∠FBC
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
∴⊿ABC为等腰三角形