Question

已知数列的前n项和为sn且满足an+1=sn+n+1

已知数列｛an｝前n项和为Sn,且满足Sn=(3/2)an+1,(n属于N*）（1）求数列｛an｝通项公式
（2）求极限（an/Sn)的值

Answer 1

因为Sn=(3/2)an+1, S(n+1)=(3/2)a(n+1)+1,
因为S(n+1)-Sn=a(n+1),
所以(3/2)a(n+1)+1-(3/2)an-1= a(n+1),
即：(3/2)a(n+1) -(3/2)an= a(n+1),
(1/2)a(n+1) =(3/2)an,
a(n+1) =3an,
所以an+1/an=3,数列是公比为3的等比数列.
因为S1=(3/2)a1+1,所以a1=-2.
所以an=-2*3^(n-1).
Sn=-2*(1-3^n)/(1-3)= 1-3^n,
an/Sn=-2*3^(n-1) /(1-3^n)= 2*3^(n-1) /(3^n-1)
分子分母同除以3^n可得下式
=(2/3)/(1-(1/3)^n),
因为(1/3)^n的极限是0,
所以极限（an/Sn)=2/3.