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【分析】
可降阶的高阶微分方程
方程类型如果是不显含x的二阶方程 y'' = f(y,y')
令y' = p,把p看做y的函数,则y'' = dp/dx = dp/dy ·dy/dx = p dp/dy ,把y',y''的表达式带入原方程,
得dp/dx = 1/p f(y,p) —— 一阶方程,设其解为 p = g(y,C1),
即dy/dx = g(y,C1),则原方程的通解 为 ∫ dy / g(y,C1) = x+C2
一阶贝努利方程 y' + F(x)y = G(x)y^n ,其中n≠0,1 令z=y^(1-n),
则方程 → dz/dx + (1-n)F(x)z = (1-n)G(x) ,属于一阶线性方程。
一阶线性方程 y' + F(x)y = G(x) ,用常数变易法求
1、求对应齐次线性方程y' + F(x)y = 0 的通解 y=Ce^(-∫F(x)dx)
2、令原方程的解为 y=C(x)e^(-∫F(x)dx)
3、带入原方程整理得 C(x) = ∫G(x)e^(∫F(x)dx) dx + C
4、原方程通解 y = [∫G(x)e^(∫F(x)dx) dx + C]e^(-∫F(x)dx)
【解答】
令 y' = p y '' = pdp/dy ,带入方程得
pdp/dy= -1/y^3 即,p dp = -1/y^3 dy ,可分离变量方程,两边同时积分即可。
p² = 1/y² + C
x =1 ,y=1 ,y'(1)=0=p 得 C = -1
p = √(1/y² - 1)
即dy/dx = g(y,C1) dy/dx = √(1/y² - 1)
则原方程的通解 为 ∫ dy / √(1/y² - 1) = x+C
即 y² = -x² + C1x+C2,带x=1,y=1,y'=0 得C1=2,C2=0
y² = -x² + 2x
newmanhero 2015年2月4日22:13:44
希望对你有所帮助,。
可降阶的高阶微分方程
方程类型如果是不显含x的二阶方程 y'' = f(y,y')
令y' = p,把p看做y的函数,则y'' = dp/dx = dp/dy ·dy/dx = p dp/dy ,把y',y''的表达式带入原方程,
得dp/dx = 1/p f(y,p) —— 一阶方程,设其解为 p = g(y,C1),
即dy/dx = g(y,C1),则原方程的通解 为 ∫ dy / g(y,C1) = x+C2
一阶贝努利方程 y' + F(x)y = G(x)y^n ,其中n≠0,1 令z=y^(1-n),
则方程 → dz/dx + (1-n)F(x)z = (1-n)G(x) ,属于一阶线性方程。
一阶线性方程 y' + F(x)y = G(x) ,用常数变易法求
1、求对应齐次线性方程y' + F(x)y = 0 的通解 y=Ce^(-∫F(x)dx)
2、令原方程的解为 y=C(x)e^(-∫F(x)dx)
3、带入原方程整理得 C(x) = ∫G(x)e^(∫F(x)dx) dx + C
4、原方程通解 y = [∫G(x)e^(∫F(x)dx) dx + C]e^(-∫F(x)dx)
【解答】
令 y' = p y '' = pdp/dy ,带入方程得
pdp/dy= -1/y^3 即,p dp = -1/y^3 dy ,可分离变量方程,两边同时积分即可。
p² = 1/y² + C
x =1 ,y=1 ,y'(1)=0=p 得 C = -1
p = √(1/y² - 1)
即dy/dx = g(y,C1) dy/dx = √(1/y² - 1)
则原方程的通解 为 ∫ dy / √(1/y² - 1) = x+C
即 y² = -x² + C1x+C2,带x=1,y=1,y'=0 得C1=2,C2=0
y² = -x² + 2x
newmanhero 2015年2月4日22:13:44
希望对你有所帮助,。
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