Question

单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2,其定义域为R

1.求f(0),f(5)的值 2.证明:f(x)为奇函数
请告诉我答案及解题过程!!!谢谢!!!

Answer 1

令x=y=0,则x+y=0
f(0)=f(0)+f(0)
所以f(0)=0

令x=y=1,则x+y=2
所以f(2)=f(1)+f(1)=4
同理f(4)=f(2)+f(2)=8
f(5)=f(1)+f(4)=10

令y=-x，则x+y=0
所以f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以f(-x)=-f(x)
定义域是R，关于原点对称
所以f(x)为奇函数

Answer 2

f(0+0)=f(0)+f(0),f(0)=0 f(5)=f(1)+f(4)=5f(1)=10
f(-x)+f(x)=f(0)=0

Answer 3

f(x)=f(x+0)=f(x)+f(0)
所以f(0)=0
而f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)
即f(-x)=-f(x)

又定义域关于原点对称,
所以f(x)为奇函数.
f(5)=5f(1)=10