Question

已知 a>0 b> 0 , 且 ab=1,求a^2+b^2/a-b的最小值 及此时a,b的值

已知 a>0 b> 0 , 且 ab=1,求a^2+b^2/a-b的最小值 及此时a,b的值

Answer 1

答:1
分析:当我第一次看到这道题的时候,我的第一思路是想用均值不等式解答,但却不知该如何处理a^2+b^2/a-b,所以我又想到了能否用图象的几何意义解决该问题,但也找不到一个具体的图象来描述a^2+b^2/a-b的轨迹,看来只好按照常规的方法即导数法来解答.(我不知你高几了,学没学导数,但我目前还没想到更好的方法解答,如果有其它方法,请通知我)
解:
因为ab=1所以a=1/b
将a=1/b代入f(x)=a^2+b^2/a-b中可得:f(b)=1/b^2+b^3-b
对f(b)求导得:f导(b)=-2/b^3+b^2-b
经观察可知当b=1时使f导(x)=0
(若你能确定b=1是使f导(b)=0的唯一解,那么你可以直接说f(b)=1/b^2+b^3-b在b=1处取得极值,但此处的b=1是你通过观察法得来的,你无法确定它是否是f(b)=0唯一解,所以你需要继续证明该导函数在定义域内的单调性)
因为f导(b)=-2/b^3+b^2-b是一组复合函数,它由两部分构成,分别是-2/b^3和3b^2-1,因为b^3在定义域内增(画图可知)所以1/b^3减,所以-2/b^3增,而3b^2-1在b>0上也增,构成该导函数的两部分都增,所以在f导在定义域内是增函数,又因为f导(1)=0,所以f导(b)在[0,1]上的值小于f导(1),f导(b)在[1,正无穷]上的值大于f导(1),f导(1)=0
所以原函数在[0,1]上减,在[1,正无穷]上增.
所以原函数f(b)=1/b^2+b^3-b的最小值在b=1处取到.
所以f(b)min=f(1)=1
(你问的另一道题我也写了点思路,方在我空间的默认像册里,请下载后在看.为什么我那道题的回答提交不上去呀?什么正在审定中)

Answer 2

用均值不等式求啊
a^2+b^2>=2ab
当a=b是取等号
分母错了吧？？应该是a+b吧？

Answer 3

均值不等式