Question

设A为m x n矩阵,n1,n2为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解,c为对应...

设A为m x n矩阵,n1,n2为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解,c为对应的齐次AX=0的一个非零解,证明若 r(A)=n-1,则向量组c,n1,n2线性相关.

Answer 1

因为n1,n2为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解,
故An1=b,An2=b.且n1不=n2.
则An1-An2=A(n1-n2)=0
即n1-n2也是齐次AX=0的一个非零解.
又因为c为对应的齐次AX=0的一个非零解,故Ac=0.
由于r(A)=n-1,故齐次AX=0的基础解系中只有n-(n-1)=1个非零向量,不妨设为d.
则n1-n2=k1*d,c=k2*d.且k1,k2均不等于0.
所以有k2*n2-k2*n1-k1*c=k2*(n2-n1)-k1*c=0.
故向量组c,n1,n2线性相关.