Question

y的二阶导数-y的一阶导数=x的通解？

y的二阶导数－y的一阶导数=x的通解？

Answer 1

∵y''-y'=x，∴其齐次方程的特征方程为r²-r=0。∴r=0，r=1，其齐次方程的y*=c1+(c2)e^x。
又，f(x)=x。∴设原方程的通解为y=y*+ax²+bx+c。代入原方程、经整理有，-2a=1,2a-b=0。
∴a=-1/2，b=-1。∴原方程的通解为y=(c2)e^x-x²/2-x+c1。其中，c1、c2为常数。

Answer 2

y''-y' = x, 特征方程 r^2-r = 0, r = 0, 1.
可设特解 y = x(ax+b) = ax^2+bx, y' = 2ax+b, y'' = 2a
2a-2ax-b = x, a = -1/2, b = -1, 特解 y = -(1/2)x^2-x
通解为 y = C1e^x + C2 - (1/2)x^2 - x

追问

2a-2ax-b = x这个怎么解？谢谢

追答

2a-2ax-b = x， 比较两边 x 的系数和常数项的系数，得

-2a = 1， 2a - b = 0， 解得 a = -1/2, b = -1

Answer 3

p(x) =-1
∫p(x)dx = -x
e^[∫p(x)dx] = e^(-x)
//
y''-y' =x
两边乘以 e^(-x)
e^(-x). (y''-y') =xe^(-x)
d/dx ( e^(-x). y' )=xe^(-x)
e^(-x). y' =∫ xe^(-x) dx
=-∫ x de^(-x)
=-x.e^(-x) +∫ e^(-x) dx
=-x.e^(-x) -e^(-x) +C1
y'=-x -1 +C1.e^x
y=∫ [-x -1 +C1.e^x] dx
=-(1/2)x^2 -x +C1.e^x +C2