Question

求微分方程x^2 dy+y^2 dx=0满足初始条件为x=1,y=2的特解

Answer 1

解：微分方程为x²dy+y²dx=0，化为-dy/y²=dx/x²，

1/y=-1/x+c(c为任意常数)，1/y=(cx-1)/x，微分方程的通解为y=x/(cx-1)

∵当x=1时，y=2 ∴2=1/(c-1)，得：c=1.5，微分方程的特解为y=1/(1.5x-1)

请参考

下图为运用微分方程求解最速曲线问题

随着分析学对函数引入微分运算，表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程进入数学家的视野，这就是微分方程。微分方程的形成与发展与力学、天文学、物理学等科学技术的发展密切相关。因为在现实的世界中，物质的运动及其变化规律在数学上是用函数关系来描述的，这意味着问题的解决就是要去寻求满足某些条件的函数，而这类问题就转换为微分方程的求解问题。

解微分问题的基本思想类似于解代数方程，要把问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，进而得到包含未知函数的一个或几个方程，然后使用分析的方法去求得未知函数的表达式。

如果微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，那么该类微分方程就是常微分方程。常微分方程的通解构成一个函数族，主要研究方程或方程组的分类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等内容。

Answer 2

x^2dy = -y^2dx， -dy/y^2 = dx/x^2,
1/y = -1/x + C, x=1, y=2 代入得 C = 3/2.
特解是 1/x + 1/y = 3/2