已知正数a,b,c 满足a+b+c=1,则(1/a+1/b+4/c)的最小值是

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舒适还明净的海鸥i
2022-05-26 · TA获得超过1.7万个赞
知道小有建树答主
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16

因a,b,c∈R+, a+b+c=1
所以
1/a+1/b+4/c = (a+b+c)/a + (a+b+c)/b + 4(a+b+c)/c
= 1+b/a+c/a + a/b+1+c/b + 4a/c+4b/c+4
= 6+ (b/a+a/b) + (c/a+4a/c) + (c/b+4b/c)
由基本不等式:a,b∈R+, a+b≥2√(ab), 有
b/a+a/b ≥ 2
c/a+4a/c ≥ 4
c/b+4b/c ≥ 4
当且仅当 a = b = 1/2c 时取最小值

1/a+1/b+4/c = 6+ (b/a+a/b) + (c/a+4a/c) + (c/b+4b/c) ≥ 6+2+4+4 = 16
即(1/a+1/b+4/c)的最小值是
(1/a+1/b+4/c)min = 16

a = 1/4
b = 1/4
c = 1/2 时取得.
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