Question

求解线性代数证明题！

设mXn矩阵A的秩为r，证明当r<n时存在秩为n-r的列满秩矩阵B使AB=0.

Answer 1

一点不麻烦吧...
对齐次方程组AX=0
因为r(A)=r<n
所以基础解系中线性无关解向量的个数为n-r(A)=n-r个,设为X1,X2...Xn-r
也就有A(X1,X2,X3,....Xn-r)=0.....................按列分块
令B=(X1,X2,X3....Xn-r),则AB=0
而r(B)=r(X1,X2,X3.......Xn-r)=n-r ,B矩阵列满秩
命题得到证明

Answer 2

这个写起来好复杂
列线性方程组
用线性相关和无关来证

Answer 3

证明：
设V，W分别为线性空间，维数分别为：n ,m
选取V和W上一组基，分别记得为{v_i}和{w_i}
则，A对应着从V到W的一个线性变换A1。
因为A1的秩为r，所以Ker（A1）为n-r的线性空间。
现在取Ker（A1）的一组基为{k_i}，将{k_i}扩充为V的一组基
记为：{l_i}。现在V上有两组基{v_i},{l_i}。所以存在着变换矩阵B1，取B为B1中限制在子空间Ker（A1）的部分的矩阵。则AB为Ker（A1）到W的线性变换A1在基{k_i}和{w_i}的表示，因为A1在Ker（A1）上为0，所以AB＝0.