Question

设0＜P（A）＜1，证明：A与B相互独立?P（B|A）=P（B|.A）．

Answer 1

如图即为答案

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所以,两两独立不一定相互独立
例如：有三个随机变量A,B,C如果他们两两独立,
那么：P(AB)=P(A)(B)
但是P(ABC)不一定等于P(A)P(B)P(C) ,
如果相互独立的话,那么上式就是成立的。

设A,B是试验E的两个事件,若P(A)>0,可以定义P(B_A).一般,A的发生对B发生的概率是有影响的,所以条件概率P(B_A)≠P(B),而只有当A的发生对B的发生没有有影响的时候才有条件概率P(B_A)=P(B).这时,由乘法定理P(A∩B)=P(B_A)P(A)=P(A)P(B).

因此

定义:设A,B是两事件,如果满足等式P(A∩B)=P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立,简称A,B独立.

注:1.P(A∩B)就是P(AB)

2.若P(A)>0,P(B)>0则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立,即独立必相容,互斥必联系.

容易推广:设A,B,C是三个事件,如果满足P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称事件A,B,C相互独立

更一般的定义是,A1,A2,??,An是n(n≥2)个事件,如果对于其中任意2个,任意3个,?任意n个事件的积事件的概率,都等于各个事件概率之积,则称事件A1,A2,??,An相互独立