Question

高等数学，微分方程部分，这道题怎么做？x的绝对值怎么没了

Answer 1

求方程：dy/dx=y/x-(1/2)(y/x)³满足x=1时y=1的特解。
解：令y/x=u，则y=ux；于是dy/dx=(du/dx)x+u;
代入原式得 (du/dx)x+u=u-(1/2)u³
化简得(du/dx)x=(1/2)u³
分离变量得du/u³=(1/2x)dx
积分之得 -1/(2u²)=(1/2)lnx+(1/2)lnc=(1/2)ln(cx)
化简得 -1/u²=ln(cx)
1/u²=-lncx；u²=-1/lncx，u=√(-1/lncx)
故通解为y=x√(-1/lncx)
将初始条件x=1,y=1代入得1=√(-1/lnc)，1=-1/lnc，lnc=-1，故c=1/e；
于是得特解 y=x√[-1/ln(x/e)]=x√[1/(1-lnx)].