Question

什么叫正交矩阵

Answer 1

正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。

尽管我们在这里只考虑实数矩阵，但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。

正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。

有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。n×n正交矩阵形成了一个群，即指示为O（n）的正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。

例如，分子的点群是O（3）的子群。因为浮点版本的正交矩阵有有利的性质，它们是字数值线性代数中很多算法比如QR分解的关键，通过适当的规范化，离散余弦变换（用于MP3压缩）可用正交矩阵表示。

定理

1、方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组。

2、方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基。

3、A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量。

4、A的列向量组也是正交单位向量组。

5、正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。