Question

求f(x)=x²×ln(x+arctanx)的导数

Answer 1

要计算函数 f(x) = x^2 * ln(x + arctan(x)) 的导数，我们可以使用乘积法则和链式法则来求解。让我们逐步进行计算。

首先，我们将函数 f(x) 表示为两个函数的乘积：u(x) = x^2 和 v(x) = ln(x + arctan(x))。

根据乘积法则，f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)。现在我们需要计算 u'(x) 和 v'(x)。

• 计算 u'(x)：
  使用幂函数的导数公式，我们有 u'(x) = 2x。

• 计算 v'(x)：
  使用对数函数的导数公式，我们有 v'(x) = (1 / (x + arctan(x))) * (1 + 1 / (1 + x^2))。
  注意，这里应用了链式法则，将 x + arctan(x) 视为整体，并将其导数计算为 1 / (x + arctan(x))。

现在我们可以将上述结果代入乘积法则中，得到 f'(x) 的表达式：
f'(x) = (2x) * ln(x + arctan(x)) + x^2 * [(1 / (x + arctan(x))) * (1 + 1 / (1 + x^2))]

简化表达式后，可以得到最终的导数结果。