Question

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+......+99*100

各位帮忙把这道题公式推一下。谢谢！！！！！！！

Answer 1

首先可以知道存在这样一个数列{an}:1*2,2*3,3*4,...,99*100

可以看出数列的通项公式为 an=n(n+1)=n^2+n

从上面可以得到启示

1*2=1^2+1

2*3=2^2+2

3*4=3^2+3

.
.
.
99*100=99^2+99

于是原式=（1^2+2^2+3^2+...+99^2）+（1+2+3++...+99）

1到99的平方和可以用平方和公式 sn= n(n+1)(2n+1)/6(证明放在最后面)

即：1^2+2^2+3^2+...+99^2=99*100*199/6=328350

1+2+3+...+99=（1+99）99/2=4950

因此 原式=328350+4950=333300

(附)平方和公式证明如下

证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6

1、N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1

2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5

3、设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6

则当N＝x＋1时，

1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2

＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6

＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6

＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6

＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6

也满足公式

4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。

Answer 2

1+2+3+……+100
=(1+100)+(2+99)+……+(50+51)
=101+101+……+101
=101*50=5050

这是等差数列的求和，有求和公式如下：
设等差数列a1,a2,a3……an共n项，首项是a1，
公差d=a2-a1=a3-a2=……=an-a(n-1)，则设S=a1+a2+……+an，有：
S=(a1+an)*n/2=(首项+末项)*项数/2

又，an=a1+(n-1)d，也就是说，如果只知道首项a1与项数n、公差d
也可以通过公式的转化进行求和，公式如下：
S=(a1+an)n/2=[a1+a1+(n-1)d]n/2=n[a1+(n-1)d/2]

Answer 3

n*(n+1)=n^2+n
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1+2+..+n=n*(n+1)/2

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+......+99*100
=1^2+1+2^2+2+3^2+3+4^2+4+..+99^2+99
=1^2+2^2+..+99^2+1+2+..+99
=99*100*199/6+99*100/2
=333 300

补充：
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+……+98*99+99*100
=1*2+（2*3+3*4）+（4*5+5*6）+（6*7+7*8）+……+（98*99+99*100）
=2*1²+2*3²+2*5²+2*7²+2*9²+……+2*99²
=2*（1^2+3^2+5^2……+99^2)

而1²+3²+5²+..........(2n-1)²=n(4n^2-1)/3
这里 n=50
1-100所有奇数的平方和=50*(4*50^2-1)/3=166650

所以1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+……+98*99+99*100 ＝166650*2=333300