Question

已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x),

已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x-1，求x∈[-4，0]时f（x）的表达式？

Answer 1

(1)对于任意一个点的横坐标x0，它关于x=2对称的点横坐标为2+(2-x0)
=4-x0，只需证明f(x0)=f(4-x0)即可。
在等式f(2+x)=f(2-x)中取x=2-x0，我们发现要求的式子就证明出来了：
f(x0)=f(4-x0)，因此函数f=f(x)的图象关于直线x=2对称；
(2)当x∈[0,2]时f(x)=2x-1；因为函数f=f(x)的图象关于直线x=2对称，
所以f(x)=f(4-x)，即
当x∈(2,4]时f(x)=f(4-x)=2(4-x)-1=7-2x(此时(4-x)∈[0,2))
即当x∈[0,2]时f(x)=2x-1；
当x∈(2,4]时f(x)=7-2x；
又由于f(x)是偶函数，因此f(x)=f(-x)；
即当x∈[-4,-2)时，f(x)=f(-x)=7+2x(此时-x∈(2,4])；
当x∈[-2,0]时，f(x)=f(-x)=-2x-1(此时-x∈[0,2])；
所以当x∈[-4,0]时
f(x)=7+2x.............x∈[-4,-2)；
f(x)=-2x-1............x∈[-2,0].

Answer 2

定义在R上的奇函数y=f(x)又是偶函数
题有问题吧
把第一个奇函数去掉

f(x)=7+2x.............x∈[-4,-2)；
f(x)=-2x-1............x∈[-2,0].

Answer 3

是偶函数吧..
f(4+x)=f(2+2+x)=f(2-(2+x))=f(-x)=f(x)
所以 周期T=4

令-x∈[0，2].即x∈[-2，0].
f(-x)=2(-x)-1=f(x)
所以：当x∈[-2，0]，f(x)=-2x-1

令x+4∈[0.2].即x∈[-4，-2]，
f(x+4)=2(x+4)-1=f(x)
所以：x∈[-4，-2]，f(x)=2x-7

Answer 4

当X属于-4到-2时，表达式为2x-1,
当X属于-2到0时，表达式为-2X-1.
不用谢！