Question

已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x+y)=f(x)+2y（x+y)，且f(1)=1，求f(x)的解析式.

不会就不要留言，我要过程，谢谢了

Answer 1

令x=1，y=-1，代入：

f(0)=f(1)=1;

令y=1，代入原式：

f(x+1)=f(x)+2(x+1)（需要注意的是x=0时，这个式子不成立）
移项后：
f(x+1)-f(x)=2x+2

这个显然是个递推式，下面用n代替x进行演绎：
显然
f(2)-f(1)=2*1+2
f(3)-f(2)=2*2+2
…………………
f(n)-f(n-1)=2*(n-1)+2

以上等式分别相加起来

f(n)-f(1)=2*[(n-1)+(n-2)+……+1]+2*(n-1)

将f(1)=1代入，得：

f(n)=n^2+n-1（这里你验算一下，不知道有没有算错）

将n换成x，则得到分段函数：

f(x)=x^2+x-1(x>0)
f(0)=1（x=0）

嗯……自己再按上述思路求负数部分，这里不再述说（别太懒哈）。

顺便说一下，发错地方了，起码应该去理工类/数学那里发这个问题。

Answer 2

令x=0，y=1，得f(1)=f(0)+2
所以 f(0)=-1
再令x=0，得f(y)=f(0)+2y^2
即 f(x)=2x^2-1