Question

在四边形ABCD中,角ABC=角ADC=90度.点E.F分别是AC,BD的中点,求证:EF垂直BD

Answer 1

连接EB，ED
因为E是AC中点，角ABC是直角
所以EB=(1/2)AC
(直角三角形底边上的中线等于底边长的一半）
同理，ED=(1/2)AC
所以EB=ED
所以角EBF=角EDF
因为F是BD的中点
所以FB=FD

由MB=MD，NB=ND，角MBN=角MDN可证得
△BMN与△DMN全等
所以角BNM=角DNM
而角BNM+角DNM=180°
所以角BNM=180°/2=90°
所以MN垂直BD

（如果学过等腰三角形底边上的高，中线，对角平分线重合的定理的话后面部分可以直接用这个定理证明）

Answer 2

联结DE\BE
因为<ADC=90,E是AC中点
所以DE=1/2AC（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）
因为<ABC=90,E是AC中点
所以BE=1/2AC
所以DE=BE
因为F是BD重点
所以EF垂直于BD（等腰三角形三线合一）

Answer 3

连接BE、DE
在Rt△ABC中
因为：AE=CE
所以：BE=1/2AC
同理：DE=1/2AC
所以：BE=DE，角EBF=角EDF
在△BEF和△DEF中
因为：BE=DE，角EBF=角EDF，BF=DF
所以：△BEF和△DEF全等，角EFB=角EFD
因为：B、F、D在一条直线上，
所以：角EFB+角EFD=180°
又：角EFB=角EFD
所以：2×角EFD=180°，角EFD=90°=角EFB
所以：EF垂直BD