Question

概率中为什么两两独立却不一定相互独立？

Answer 1

例如，在事件A、B、C中：

两两独立：P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)；

相互独立：不仅有P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)，还包括：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。

所以两两独立不一定相互独立。

扩展资料：

相互独立的证明：

设A,B是试验E的两个事件,若P(A)>0,可以定义P(B∣A)；一般，A的发生对B发生的概率是有影响的，所以条件概率P(B∣A)≠P(B)；

而只有当A的发生对B发生的概率没有影响的时候（即A与B相互独立）才有条件概率P(B∣A)=P(B)。这时，由乘法定理P(A∩B)=P(B∣A)P(A)=P(A)P(B)。

由条件概率的定义容易推得概率的乘法定理。乘法定理亦称乘法公式（product formula）。求一随机试验中多个事件同时发生概率一般公式。

Answer 2

有四个数：3,4,5,60
事件A：从上面四个数随机抽一个数是3的倍数
事件B：从上面四个数随机抽一个数是4的倍数
事件C：从上面四个数随姿团雹机抽一个数是5的倍数
易知事件A、B、C两两独立因为：
P(AB)=P(A)*P(B)=1/4
P(AC)=P(A)*P(C)=1/4
P(BC)=P(B)*P(C)=1/4
但是事件A、B、C不相互独立因为：
P(ABC)=1/4 不等于 P(A)*P(B)*P(C)=1/8
原因在于事件AB不与事件C独立：事件AB发生时事件C一定会发生，很好或吵理解，因为当AB发生表示抽到了既是3的倍数又是4的倍数，必定为60，则C事件发生。

Answer 3

两两独立不能保证相互独立需要的条件
P(ABC)=P(A)P(B)P(C),
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例1、关于三个事件两两独立，但三个事件并不相互独立的例子
设有一个均匀的正四面体，第一，二，三面分别涂上红，黄，蓝一种颜色，第四面涂上红，黄，蓝三种颜色。现以A,B,C分别记投一次四面体底面出现红，黄，蓝颜色的事件，则A,B,C两两独立，但A,B,C不相互独立。

P(ABC)=红黄蓝同时出现概率=1/4.
P(A)=P(B)=P(C)=1/2
P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4
因为
P(A)P(B)=P(AB), P(BC)=P(B)P(C),P(CA)=P(C)P(A)
所以A,B,C两两独立
相互独立还要求P(A)P(B)P(C)=P(ABC),但是
P(A)P(B)P(C)=1/8,
P(ABC)=1/4
显然不能满足条件

Answer 4

例子有问题，明显ABC是相互独立事件
我觉得稍改一下，使用下边的例子更容易理解。
有4个数：3，4，9，60。小红，小黄，小绿各随机选择一个数字（有放回）。
事件A：小红选取的数字是3的倍数，P(A)=3/4
事件B：小黄选取的数字是4的倍数，P(B)=2/4
事件C：小绿选取的数字是5的倍数，P(C)=1/4
易知事件ABC两两独立：
P(A∩B)=P(A)P(B)=3/8
P(B∩C)=P(B)P(C)=1/4
P(A∩C)=P(A)P(C)=3/16
且P(A∩B∩C)=3*2*1/(4*4*4)=3/32=P(A)P(B)P(C),故有事件ABC相互独立。
思考过程中要时刻记得ABC是三个事件，P(A∩B∩C)是三个事件同时发生，而不是某次实验同时满足三个事件条件。上边答主就是弄混了三个事件都发生和一次事件满足三个条件这两的区别，所以才分析错误。以上是个人见解，有错误之处欢迎回复指正，谢谢！

Answer 5

我有疑惑，上面的都是用例子证明的，我想问能不能理论证明，比如ABC三事件两两独立，p(ABC)为什么不能等于p(A)p(BC)
=P(A)P(B)P(C)呢？
把BC的交看做一个事件，BC肯定包含于B，也包含于C，按理说也应该和A独立，
这个推理为什么错了，有大佬解释下么