Question

已知f（x）＝x/1+x^2

，<1>.判断函数的奇偶性?<2>指出该函数在（0,1)上的单调性并证明？<3>利用<1>.<2>的结论指出该函数（—1，0）的增减性?

Answer 1

1.f(-x)=-x/(1+(-x)^2)=-x/(1+x^2)=-f(x),f(x）是奇函数。

2.设x1、x2均属于（0,1)，且x1<x2,则x1x2<1,
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)=(x2-x1)(1-x1x2)/(((1+x2^2)*(1+x1^2))>0
所以，f(x)在（0,1)上的单调增。

3.设x1、x2均属于（-1,0)，且x1<x2,
则-x1、-x2均属于（0,1)，-x1>-x2, f(-x1)>f(-x2)
因为f(-x)=-f(x), 所以f(x)=-f(-x)
所以f(x2)-f(x1)=-f(-x2)-(-f(-x1))=f(-x1)-f(-x2)>0
所以函数在（—1，0）单调增。