Question

为何任意一个函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数之和?

Answer 1

因为函数f（x）一定可以分解为奇函数和偶函数之和。其实可以直接从构造出的两个函数来证明就行了。 f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2

设函数y=F（x）

令f（x）=[F（x）+F（-x）]/2,则f（-x）=[F（-x）+F（x）]/2=f（x）

于是f（x）为偶函数

令g（x）=[F（x）-F（-x）]/2,则g（-x）=[F（-x）-F（x）]/2=-g（x）

则g（x）为奇函数

f（x）+g（x）=[F（x）+F（-x）]/2+）[F（x）-F（-x）]/2

=F（x）

于是任意F（x）可表示为偶函数f（x）=[F（x）+F（-x）]/2与奇函数g（x）=[F（x）-F（-x）]/2的和

所以，任意一个函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数之和。

扩展资料

函数的奇偶性也就是对任意xEl，若f(-x)=f(x)，即在关于y轴的对称点的函数值相等，则f(x)称为偶函数;若f(-x)= - f(x)，即对称点的函数值正负相反，则f(x)称为奇函数。

在平面直角坐标系中，偶函数的图象对称于y轴，奇函数的图象对称于原点.可导的奇(偶)函数的导函数的奇偶性与原来函数相反。定义在对称区间(或点集)上的任何函数f(x)都可以表示成奇函数φ( x)和偶函数ψ(x)之和。

Answer 2

对任何一个函数f(x),都可以写成f(x)=g(x)+h(x)
其中g(x)是奇函数,h(x)是偶函数

为了证明这一点,我们并不是从一个奇函数和一个偶函数的和如何构成任意函数
而是通过证明任意函数都能分解成g(x)+h(x)来得证得.
正规的证明如下:

证明:
先假设f(x) = g(x) + h(x)是存在的,设为1式
则f(-x) = g(-x) + h(-x),设为2式
奇函数性质:g(x)=-g(-x)
偶函数性质:h(x)=h(-x)

那么分别拿1式+2式,1式-2式得到:
f(x)+f(-x)=2h(x)
f(x)-f(-x)=2g(x)

由此我们得出结论,对任意的f(x),我们能够构造这么两个函数
g(x)=[f(x)-f(-x)]/2 是奇函数
h(x)=[f(x)+f(-x)]/2 是偶函数
且g(x)+h(x)=f(x)
证毕.

通过这个证明还能够得到如何分解成奇函数和偶函数的方法

Answer 3

Answer 4

另一楼对了

Answer 5

这个证明基于假设的基础上，怎么可能对