Question

证明任意一个函数都可拆分成一个偶函数和一个奇函数的和

Answer 1

证明如下：

任意函数f(x),构造两个函数,g(x),h(x)。

其中,g(x)=(f(x)-f(-x))/2。

h(x)=(f(x)+f(-x))/2 。

由于g(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-g(-x)。

h(-x)=(f(-x)+f(x))/2=h(x)。

所以g(x)为奇函数,h(x)为偶函数。

g(x)+h(x)=(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x)。

所以得证: 

任意函数f(x),都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和 。

得证。

Answer 2

对任何一个函数f(x),都可以写成f(x)=g(x)+h(x)
其中g(x)是奇函数,h(x)是偶函数
为了证明这一点,我们并不是从一个奇函数和一个偶函数的和如何构成任意函数
而是通过证明任意函数都能分解成g(x)+h(x)来得证得.
正规的证明如下:
证明:
先假设f(x) = g(x) + h(x)是存在的,设为1式
则f(-x) = g(-x) + h(-x),设为2式
奇函数性质:g(x)=-g(-x)
偶函数性质:h(x)=h(-x)
那么分别拿1式+2式,1式-2式得到:
f(x)+f(-x)=2h(x)
f(x)-f(-x)=2g(x)
由此我们得出结论,对任意的f(x),我们能够构造这么两个函数
g(x)=[f(x)-f(-x)]/2 是奇函数
h(x)=[f(x)+f(-x)]/2 是偶函数

追问

如果假设不存在怎么证明

这毕竟是假设出来的，你最后也没有证明假设成立啊

追答

所有的函数只要定义域关于原点对称，都可以写为一个偶函数和一个奇函数的和。

Answer 3

追问

为什么前面是偶函数后面是奇函数

追答

分别按偶函数，奇函数的定义去说明就可以了

追问

？

详细点

追答

追问

fx是偶函数，gx偶函数，证明fgx是偶函数

追答

就按上面这个公式来说明就可以了，没什么难度

追问

求大神教

追答

问的问题有点基础

追问

正在预习高一

追答

追问

与fx的奇偶性无关？

追答

对，只要内层函数是偶函数，那么复合函数就是偶函数